Problema 97: Determine lim_{n → ∞} (n! e^n)/(n^n). Agora, escolha a alternativa CORRETA: a) 0 b) 1 c) 2 d) n não fortemente dominado.

Para resolver o limite \(\lim_{n \to \infty} \frac{n! e^n}{n^n}\), podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \frac{n! e^n}{n^n} \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^n}{n^n} = \frac{\sqrt{2 \pi n} n^n e^n}{e^n n^n} = \sqrt{2 \pi n} \] Agora, ao calcular o limite: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} = \infty \] Portanto, a expressão diverge para o infinito. Assim, a alternativa correta é: a) 0 (não é correta, pois o limite diverge) b) 1 (não é correta, pois o limite diverge) c) 2 (não é correta, pois o limite diverge) d) n não fortemente dominado (não é uma resposta correta para o limite) Nenhuma das alternativas apresentadas está correta, pois o limite tende ao infinito. Você deve verificar se há um erro nas opções fornecidas.