Encontre o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3} \, dx \). a) \( \frac{1}{4} \) b) \( \frac{1}{5} \) c) \( \frac{3}{10} \) d) \( \frac{1}{6} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^2 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -2x \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{2x} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^3 \left(-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}\right) \] 4. Mudando os limites de integração, ficamos com: \[ \frac{1}{2} \int_0^1 u^3 (1-u)^{-1/2} \, du \] 5. Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral beta ou a fórmula de integração por partes. Após calcular, encontramos que o valor da integral é \( \frac{1}{6} \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{1}{6} \).