Qual é o valor de \( \frac{d^3}{dx^3} (x^4 + 2x^3 - x^2 + 5) \)? A) 0 B) 24 C) 12 D) 6

Para encontrar o valor de \( \frac{d^3}{dx^3} (x^4 + 2x^3 - x^2 + 5) \), precisamos calcular a terceira derivada da função. 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5) = 4x^3 + 6x^2 - 2x \] 2. Segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) + \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(2x) = 12x^2 + 12x - 2 \] 3. Terceira derivada: \[ f'''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) + \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(2) = 24x + 12 \] Agora, para encontrar o valor da terceira derivada, podemos avaliar \( f'''(x) \) em \( x = 0 \) (ou qualquer valor, já que a pergunta não especifica um ponto): \[ f'''(0) = 24(0) + 12 = 12 \] Portanto, a resposta correta é: C) 12.