testes dasdj (20)

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- D) 2 
 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Calculando a primeira derivada \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). A segunda 
derivada é \( f''(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} \). Avaliando em \( x = 0 \), 
obtemos \( f''(0) = 1 \). 
 
### Problema 6 
**Pergunta:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 4} \). 
- A) 0 
- B) \( \frac{3}{5} \) 
- C) 1 
- D) \( \infty \) 
 
**Resposta:** B) \( \frac{3}{5} \) 
**Explicação:** Para limites em \( \infty \), dividimos cada termo pelo maior grau de \( x \) 
no denominador. Assim, o limite se torna \( \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x^2} + 
\frac{1}{x^3}}{5 + \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5} \). 
 
### Problema 7 
**Pergunta:** Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) no ponto \( 
x = 1 \)? 
- A) \( y = -2x + 6 \) 
- B) \( y = 2x + 2 \) 
- C) \( y = -2x + 5 \) 
- D) \( y = 3x - 2 \) 
 
**Resposta:** A) \( y = -2x + 6 \) 
**Explicação:** Primeiro, encontramos a derivada \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). Avaliando em \( x = 
1 \), temos \( f'(1) = -3 \). O ponto na curva é \( (1, 2) \). Usando a fórmula da reta tangente 
\( y - y_0 = m(x - x_0) \), obtemos \( y - 2 = -3(x - 1) \), que simplifica para \( y = -3x + 5 \). 
 
### Problema 8 
**Pergunta:** Determine o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx \). 
- A) 0 
- B) \( \frac{\pi}{2} \) 
- C) 1 
- D) \( \frac{1}{2} \) 
 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** A função \( \sin(x) \cos(x) \) é ímpar em relação a \( \frac{\pi}{2} \), 
portanto, a integral de \( 0 \) a \( \pi \) resulta em \( 0 \). 
 
### Problema 9 
**Pergunta:** Qual é o valor de \( \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx \)? 
- A) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
- B) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
- C) \( \frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
- D) \( -\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 
**Resposta:** A) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
**Explicação:** Utilizando a técnica de integração por partes, onde \( u = \sin(3e^{2x}) \) e 
\( dv = e^{2x} dx \), obtemos o resultado desejado. 
 
### Problema 10 
**Pergunta:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
- A) 0 
- B) 5 
- C) 1 
- D) \( \infty \) 
 
**Resposta:** B) 5 
**Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \). 
 
### Problema 11 
**Pergunta:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
- A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
- B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
- C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
- D) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
**Explicação:** A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x 
\), resultando em \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
### Problema 12 
**Pergunta:** Calcule a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
- A) \( 1 \) 
- B) \( \frac{5}{4} \) 
- C) \( \frac{3}{4} \) 
- D) \( 2 \) 
 
**Resposta:** B) \( \frac{5}{4} \) 
**Explicação:** A integral é calculada como \( \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - 
(0) = 2 \). 
 
### Problema 13 
**Pergunta:** Qual é o valor de \( \frac{d^3}{dx^3} (x^4 + 2x^3 - x^2 + 5) \)? 
- A) 0 
- B) 24 
- C) 12 
- D) 6 
 
**Resposta:** B) 24 
**Explicação:** A terceira derivada de \( x^4 \) é \( 24 \), enquanto as outras derivadas se 
tornam zero.