Determine o valor de \(\int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx\). a) 0 b) 1 c) \frac{1}{2} d) \frac{\pi}{2}

Para resolver a integral \(\int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx \] Agora, podemos fatorar a constante \(\frac{1}{2}\) para fora da integral: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx \] A integral de \(\sin(2x)\) é: \[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \] Portanto, avaliando a integral: \[ \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx = \left[-\frac{1}{2} \cos(2x)\right]_0^{\pi} \] Calculando os limites: \[ = -\frac{1}{2} \left( \cos(2\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{1}{2} (1 - 1) = 0 \] Assim, temos: \[ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx\) é: a) 0.