Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x^3) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função inversa da tangente é: \[ \frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] onde \( u = x^3 \). Agora, vamos calcular: 1. A derivada de \( u = x^3 \) é \( \frac{du}{dx} = 3x^2 \). 2. Substituindo \( u \) na fórmula da derivada, temos: \[ \frac{d}{dx} \tan^{-1}(x^3) = \frac{1}{1 + (x^3)^2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{1 + x^6} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{3x^2}{1 + x^6} \) - Correta. B) \( \frac{1}{1 + x^6} \) - Incorreta. C) \( \frac{3x^2}{1 + x^3} \) - Incorreta. D) \( \frac{1}{3x^2 + 1} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{3x^2}{1 + x^6} \).