Qual é a integral \( \int_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx \)? A) \( 1 \) B) \( \frac{5}{6} \) C) \( 2 \) D) \( \frac{7}{6} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( 3x^4 \): \[ \int 3x^4 \, dx = \frac{3}{5}x^5 \] 2. Integral de \( -4x^3 \): \[ \int -4x^3 \, dx = -\frac{4}{4}x^4 = -x^4 \] 3. Integral de \( 2x^2 \): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{3}{5}x^5 - x^4 + \frac{2}{3}x^3 \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{3}{5}(1)^5 - (1)^4 + \frac{2}{3}(1)^3 \right] - \left[ \frac{3}{5}(0)^5 - (0)^4 + \frac{2}{3}(0)^3 \right] \] \[ = \frac{3}{5} - 1 + \frac{2}{3} \] Agora, precisamos calcular: \[ \frac{3}{5} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{5} - \frac{5}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 - 5}{5} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é \( 15 \): \[ -\frac{2}{5} = -\frac{6}{15}, \quad \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \] \[ -\frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{4}{15} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{4}{15} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a questão está correta ou se há um erro nas opções.