Qual é a forma polar de z = -1 - i? a) √2 e^{-3π/4 i} b) √2 e^{3π/4 i} c) √2 e^{-π/4 i} d) √2 e^{π/4 i}

Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = -1 - i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento é dado por \( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \), onde \( x = -1 \) e \( y = -1 \). Assim, temos: \[ \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \tan^{-1}(1) \] O ângulo correspondente a \( \tan^{-1}(1) \) é \( \frac{\pi}{4} \), mas como estamos no terceiro quadrante (onde tanto \( x \) quanto \( y \) são negativos), devemos adicionar \( \pi \): \[ \text{Argumento} = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] Portanto, a forma polar de \( z \) é: \[ z = |z| e^{i \cdot \text{Argumento}} = \sqrt{2} e^{i \frac{5\pi}{4}} \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Nenhuma das opções apresenta \( \frac{5\pi}{4} \), mas podemos notar que \( e^{i \frac{5\pi}{4}} = e^{-3\pi/4 i} \) (já que \( e^{i \pi} = -1 \)). Assim, a alternativa correta é: a) \( \sqrt{2} e^{-3\pi/4 i} \)