Determine o valor de z que satisfaz z^4 + 16 = 0. a) 2√2i b) -2√2i c) 2i d) ±2√2i

Para resolver a equação \( z^4 + 16 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -16 \). Agora, podemos expressar -16 na forma polar. Sabemos que \( -16 = 16(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \). Para encontrar as raízes quartas, usamos a fórmula de De Moivre: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 16 \), \( \theta = \pi \), e \( n = 4 \). Calculando: 1. \( r^{1/4} = 16^{1/4} = 2 \). 2. As raízes são dadas por \( k = 0, 1, 2, 3 \): - Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \] - Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right) \right) = 2\left(0 + i\right) = 2i \] - Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{4}\right) \right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2} \] - Para \( k = 3 \): \[ z_3 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 6\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 6\pi}{4}\right) \right) = 2\left(0 - i\right) = -2i \] As raízes são \( 2i, -2i, 2\sqrt{2}i, -2\sqrt{2}i \). Analisando as alternativas, a resposta correta que satisfaz a equação é: d) ±2√2i.