revoluçao dos numeros CEM

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3. Determine o valor de \( z \) que satisfaz \( z^4 + 16 = 0 \). 
a) \( 2\sqrt{2}i \) 
b) \( -2\sqrt{2}i \) 
c) \( 2i \) 
d) \( \pm 2\sqrt{2}i \) 
**Resposta:** d) \( \pm 2\sqrt{2}i \). 
**Explicação:** A equação pode ser reescrita como \( z^4 = -16 \). Tomando a raiz quarta, 
temos \( z = \sqrt[4]{16}e^{i(\pi/2 + k\pi/2)} \) para \( k = 0, 1, 2, 3 \), resultando em \( z = 
2\sqrt{2}i, -2\sqrt{2}i, -2\sqrt{2}, 2\sqrt{2} \). 
 
4. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 3z + 2 = 0 \)? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
**Resposta:** c) 3. 
**Explicação:** Usando a fórmula da soma das raízes \( -\frac{b}{a} \), onde \( a = 1 \) e \( b 
= -3 \), temos \( -\frac{-3}{1} = 3 \). 
 
5. Resolva a equação \( z^2 + 1 = 0 \). 
a) \( i, -i \) 
b) \( 1, -1 \) 
c) \( 0, 0 \) 
d) \( 2i, -2i \) 
**Resposta:** a) \( i, -i \). 
**Explicação:** A equação pode ser reescrita como \( z^2 = -1 \). As raízes são \( z = \pm i 
\). 
 
6. Qual é o produto das raízes da equação \( z^2 - 5z + 6 = 0 \)? 
a) 6 
b) -6 
c) 5 
d) -5 
**Resposta:** a) 6. 
**Explicação:** O produto das raízes é dado por \( \frac{c}{a} \), onde \( c = 6 \) e \( a = 1 \). 
Portanto, o produto é \( 6 \). 
 
7. Determine o valor de \( z \) na equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \). 
a) -1 + i 
b) -1 - i 
c) -2 + 0i 
d) -1 + 2i 
**Resposta:** a) -1 + i. 
**Explicação:** Usando a fórmula quadrática, temos \( z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 
1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i \). 
 
8. Qual é a forma polar de \( z = -1 - i \)? 
a) \( \sqrt{2} e^{-\frac{3\pi}{4} i} \) 
b) \( \sqrt{2} e^{\frac{3\pi}{4} i} \) 
c) \( \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4} i} \) 
d) \( \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i} \) 
**Resposta:** a) \( \sqrt{2} e^{-\frac{3\pi}{4} i} \). 
**Explicação:** A magnitude é \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \), e o argumento é \( 
\tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \frac{3\pi}{4} \) no segundo quadrante, resultando em \( -
\frac{3\pi}{4} \). 
 
9. Qual é a raiz quadrada de \( z = -4 \)? 
a) 2i 
b) -2i 
c) 2i, -2i 
d) 4i 
**Resposta:** c) 2i, -2i. 
**Explicação:** A raiz quadrada de \( z = -4 \) é \( z = \sqrt{4} e^{i(\pi + 2k\pi)/2} \) para \( k = 
0, 1 \), resultando em \( 2i \) e \( -2i \). 
 
10. Resolva a equação \( z^3 - 1 = 0 \). 
a) 1, \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) 
b) -1, \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) 
c) \( 1, -1, 0 \) 
d) \( 1, 0, -1 \) 
**Resposta:** a) 1, \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \). 
**Explicação:** As raízes são \( z = 1 \) e as raízes cúbicas da unidade, que são \( 
e^{i\frac{2\pi}{3}} \) e \( e^{-i\frac{2\pi}{3}} \). 
 
11. Qual é o valor de \( z \) na equação \( z^2 + 3z + 2 = 0 \)? 
a) -1, -2 
b) -2, -1 
c) 1, 2 
d) 0, 0 
**Resposta:** b) -2, -1. 
**Explicação:** Fatorando, temos \( (z + 1)(z + 2) = 0 \), resultando em \( z = -1 \) e \( z = -2 
\). 
 
12. Qual é a forma canônica de \( z^2 + 4z + 5 = 0 \)? 
a) \( (z + 2)^2 + 1 = 0 \) 
b) \( (z + 2)^2 - 1 = 0 \) 
c) \( (z + 2)^2 + 4 = 0 \) 
d) \( (z + 2)^2 + 3 = 0 \) 
**Resposta:** a) \( (z + 2)^2 + 1 = 0 \). 
**Explicação:** Completando o quadrado, temos \( z^2 + 4z + 4 + 1 = 0 \), que se 
reescreve como \( (z + 2)^2 + 1 = 0 \). 
 
13. Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação \( z^2 - 4z + 4 = 0 \)? 
a) 4 
b) 8 
c) 16