Se z = 2 + 4i, qual o cubo de \overline{z}? a) 0 b) 2^2 + 3i c) 8 - 48i d) -8 - 8i

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar o conjugado de \( z \). Dado que \( z = 2 + 4i \), o conjugado \( \overline{z} \) é \( 2 - 4i \). Agora, precisamos calcular o cubo de \( \overline{z} \): \[ \overline{z}^3 = (2 - 4i)^3 \] Usando a fórmula do binômio de Newton, temos: \[ (2 - 4i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (4i) + 3 \cdot 2 \cdot (4i)^2 - (4i)^3 \] Calculando cada termo: 1. \( 2^3 = 8 \) 2. \( -3 \cdot 2^2 \cdot (4i) = -3 \cdot 4 \cdot (4i) = -48i \) 3. \( 3 \cdot 2 \cdot (4i)^2 = 3 \cdot 2 \cdot (-16) = -96 \) 4. \( - (4i)^3 = - (64i^3) = 64i \) (já que \( i^3 = -i \)) Agora, somando tudo: \[ 8 - 48i - 96 + 64i = (8 - 96) + (-48i + 64i) = -88 + 16i \] Nenhuma das alternativas corresponde a \( -88 + 16i \). Vamos revisar as opções: a) 0 b) \( 2^2 + 3i \) c) \( 8 - 48i \) d) \( -8 - 8i \) Parece que houve um erro na análise. Vamos verificar novamente o cálculo do cubo de \( \overline{z} \): \[ (2 - 4i)^3 = 8 - 48i - 96 + 64i = -88 + 16i \] Como não temos a resposta correta nas opções, parece que a questão pode estar incorreta ou incompleta. Você pode criar uma nova pergunta.