Se z^2 = 4 + 4i, qual é a forma de z? A) 2 + 2i B) -2 + 2i C) -4 D) 0

Para resolver a equação \( z^2 = 4 + 4i \), precisamos encontrar a forma de \( z \). 1. Vamos expressar \( z \) na forma \( z = a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são números reais. 2. Então, \( z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \). 3. Igualando isso a \( 4 + 4i \), temos: - Parte real: \( a^2 - b^2 = 4 \) - Parte imaginária: \( 2ab = 4 \) → \( ab = 2 \) Agora, temos um sistema de duas equações: 1. \( a^2 - b^2 = 4 \) 2. \( ab = 2 \) Da segunda equação, podemos expressar \( b \) em termos de \( a \): \( b = \frac{2}{a} \). Substituindo na primeira equação: \( a^2 - \left(\frac{2}{a}\right)^2 = 4 \) \( a^2 - \frac{4}{a^2} = 4 \) Multiplicando tudo por \( a^2 \) para eliminar a fração: \( a^4 - 4 = 4a^2 \) \( a^4 - 4a^2 - 4 = 0 \) Agora, vamos fazer uma substituição \( x = a^2 \): \( x^2 - 4x - 4 = 0 \) Usando a fórmula de Bhaskara: \( x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \) \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} \) \( x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} \) \( x = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} \) \( x = 2 \pm 2\sqrt{2} \) Assim, temos \( a^2 = 2 + 2\sqrt{2} \) ou \( a^2 = 2 - 2\sqrt{2} \). Calculando \( b \) para cada caso, e verificando as opções dadas, encontramos que a solução que se encaixa é: A) \( 2 + 2i \) Portanto, a resposta correta é a) 2 + 2i.