Qual é a forma polar do número complexo z = 4 + 4i? a) 4√2(cos(π/4) + isin(π/4)) b) 4(cos(π/4) + isin(π/4)) c) 4(cos(3π/4) + isin(3π/4))

Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = 4 + 4i \), precisamos calcular o módulo e o argumento do número complexo. 1. Módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] Portanto, a forma polar do número complexo \( z \) é: \[ z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = 4\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \] Analisando as alternativas: a) \( 4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) - Correta. b) \( 4(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) - Incorreta, pois o módulo não é 4. c) \( 4(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) - Incorreta, pois o argumento não é \( \frac{3\pi}{4} \). A alternativa correta é: a) \( 4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \).