Calcule a integral \( \int_0^1 x^3 (1 - x)^{2} \, dx \). a) \( \frac{1}{10} \) b) \( \frac{1}{12} \) c) \( \frac{1}{15} \) d) \( \frac{1}{20} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 x^3 (1 - x)^{2} \, dx \), podemos usar a fórmula da integral beta, que é dada por: \[ B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, dx = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \] No nosso caso, temos \( p = 4 \) e \( q = 3 \) (porque \( (1 - x)^2 \) é equivalente a \( (1 - x)^{q-1} \) com \( q = 3 \)). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^1 x^3 (1 - x)^{2} \, dx = B(4, 3) = \frac{\Gamma(4) \Gamma(3)}{\Gamma(7)} \] Calculando as funções gama: - \( \Gamma(4) = 3! = 6 \) - \( \Gamma(3) = 2! = 2 \) - \( \Gamma(7) = 6! = 720 \) Substituindo na fórmula: \[ B(4, 3) = \frac{6 \cdot 2}{720} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} \] No entanto, parece que não temos essa opção. Vamos calcular a integral diretamente para verificar. Usando a substituição \( u = 1 - x \), temos \( du = -dx \) e os limites de integração mudam de \( x = 0 \) para \( x = 1 \) (ou seja, \( u = 1 \) para \( u = 0 \)): \[ \int_0^1 x^3 (1 - x)^{2} \, dx = \int_1^0 (1 - u)^3 u^2 (-du) = \int_0^1 (1 - u)^3 u^2 \, du \] Agora, expandindo \( (1 - u)^3 \): \[ (1 - u)^3 = 1 - 3u + 3u^2 - u^3 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_0^1 (1 - 3u + 3u^2 - u^3) u^2 \, du = \int_0^1 (u^2 - 3u^3 + 3u^4 - u^5) \, du \] Calculando cada parte: \[ \int_0^1 u^2 \, du = \frac{1}{3}, \quad \int_0^1 u^3 \, du = \frac{1}{4}, \quad \int_0^1 u^4 \, du = \frac{1}{5}, \quad \int_0^1 u^5 \, du = \frac{1}{6} \] Substituindo: \[ = \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \] Calculando: \[ = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} \] Colocando tudo sobre um denominador comum (60): \[ = \frac{20}{60} - \frac{45}{60} + \frac{36}{60} - \frac{10}{60} = \frac{20 - 45 + 36 - 10}{60} = \frac{1}{60} \] Parece que houve um erro na análise das opções. A resposta correta não está entre as opções dadas. Porém, se você precisar de uma resposta entre as opções, a mais próxima seria a alternativa d) \( \frac{1}{20} \), mas a integral correta é \( \frac{1}{60} \).