247GL algoritmo da math

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b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** c) \( 3 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x 
\right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} \). 
 
31. **Problema 31:** 
 Calcule a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) no intervalo [0, 1]. 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) não possui uma antiderivada elementar, 
mas pode ser avaliada numericamente, resultando em aproximadamente \( 
\frac{\sqrt{\pi}}{4} \). 
 
32. **Problema 32:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - x + 3} \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} = 1 \). 
 
33. **Problema 33:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 x^3 (1 - x)^{2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{10} \) 
 b) \( \frac{1}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{20} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{10} \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula da beta, temos \( \int_0^1 x^m (1 - x)^n \, dx = 
\frac{m! n!}{(m+n+1)!} \). Para \( m=3 \) e \( n=2 \), obtemos \( \frac{3! 2!}{(3+2+1)!} = \frac{6 
\cdot 2}{6!} = \frac{1}{10} \). 
 
34. **Problema 34:** 
 Determine a solução da equação diferencial \( y' + 4y = 2 \). 
 a) \( y = Ce^{-4x} + \frac{1}{2} \) 
 b) \( y = Ce^{-4x} + \frac{1}{4} \) 
 c) \( y = Ce^{4x} + \frac{1}{2} \) 
 d) \( y = Ce^{4x} + \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-4x} + \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 4 \, dx} = e^{4x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{4x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
35. **Problema 35:** 
 Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{4x^2} + C \) 
 d) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int x^{-3} \, dx = -\frac{1}{2} x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C 
\). 
 
36. **Problema 36:** 
 Calcule \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{6} \) 
 c) \( \frac{\pi}{8} \) 
 d) \( \frac{\pi}{5} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e a integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{\pi}{4} \). 
 
37. **Problema 37:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 
38. **Problema 38:** 
 Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{8} \) 
 d) \( \frac{4}{15} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \, d\theta = \frac{2}{5} \). 
 
39. **Problema 39:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 3y = 6 \). 
 a) \( y = Ce^{-3x} + 2 \) 
 b) \( y = Ce^{-3x} + 3 \) 
 c) \( y = Ce^{3x} + 2 \) 
 d) \( y = Ce^{3x} + 3 \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-3x} + 2 \)