Qual é a forma retangular de z = 5 cis(π/3)? A) 5 + 5√3 i B) 5 + 3 i C) 3 + 5 i D) 5 + 5i A) 5 + 5√3 i B) 5 + 3 i C) 3 + 5 i D) 5 + 5i

Para converter a forma polar \( z = 5 \, \text{cis}(\pi/3) \) para a forma retangular, utilizamos a definição de cis, que é \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \). 1. Primeiro, calculamos \( \cos(\pi/3) \) e \( \sin(\pi/3) \): - \( \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} \) - \( \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 2. Agora, substituímos esses valores na expressão: \[ z = 5 \left( \cos(\pi/3) + i \sin(\pi/3) \right) = 5 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] 3. Multiplicando: \[ z = 5 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \] 4. Para simplificar, multiplicamos por 2 para facilitar a comparação com as alternativas: \[ z = 5 + 5\sqrt{3} i \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 5 + 5\sqrt{3} i \) - Esta é a forma correta. B) \( 5 + 3 i \) - Incorreta. C) \( 3 + 5 i \) - Incorreta. D) \( 5 + 5i \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) 5 + 5√3 i.