Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \sin(3x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( v(x) = \sin(3x) \). Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2e^{2x} \) (derivada de \( e^{2x} \)) - \( v'(x) = 3\cos(3x) \) (derivada de \( \sin(3x) \)) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2e^{2x})\sin(3x) + (e^{2x})(3\cos(3x)) \] Isso pode ser reescrito como: \[ f'(x) = 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x)) \) - Esta opção está correta, pois é a forma fatorada da derivada que encontramos. B) \( e^{2x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x)) \) - Incorreta. C) \( 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \) - Esta opção também está correta, mas não está na forma fatorada. D) \( e^{2x}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x)) \).