Determine as raízes da equação z^3 + 8 = 0. A) -2 B) -2 + 2√3i C) -2 + 2i D) 2

Para resolver a equação \( z^3 + 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = -8 \). O número -8 pode ser expresso em forma polar. Sabemos que \( -8 = 8(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \). Agora, para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula de De Moivre: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 8 \), \( \theta = \pi \), e \( n = 3 \). Calculando: 1. \( r^{1/3} = 8^{1/3} = 2 \) 2. As raízes são dadas por \( k = 0, 1, 2 \): - Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3} \] - Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -1 + i0 \right) = -2 \] - Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -1 - i0 \right) = -2 \] Assim, as raízes da equação são \( -2 \) e duas raízes complexas. A única alternativa correta que aparece na lista é: A) -2 Portanto, a resposta correta é A) -2.