Resolva a equação z^3 - 1 = 0. Quais são as raízes? A) 1, -1/2 + √3/2i, -1/2 - √3/2i B) 1, 0, -1 C) 1, i, -i D) 0, 1, 2

Para resolver a equação \( z^3 - 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 1 \). As raízes dessa equação são os números complexos que, quando elevados ao cubo, resultam em 1. As raízes da equação \( z^3 = 1 \) podem ser encontradas usando a forma polar. A raiz principal é \( z_0 = 1 \). As outras raízes podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 1 \) (módulo de 1) e \( \theta = 0 \) (argumento de 1), e \( n = 3 \) (porque estamos buscando as raízes cúbicas). Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \] Portanto, as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) são: 1. \( 1 \) 2. \( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 3. \( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) Assim, a alternativa correta é a) \( 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \).