Para determinar a área entre as curvas \(y = \csc^2 x\) e \(y = 2 + \cot^2 x\) no intervalo \(1 < x \leq 2\), precisamos primeiro entender a relação entre essas funções. 1. Identificar as funções: - \(y = \csc^2 x\) é a função que representa a secante ao quadrado. - \(y = 2 + \cot^2 x\) pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica \(\cot^2 x = \csc^2 x - 1\), resultando em \(y = 1 + \csc^2 x\). 2. Encontrar a diferença: - A diferença entre as funções é: \[ \csc^2 x - (2 + \cot^2 x) = \csc^2 x - (2 + (\csc^2 x - 1)) = \csc^2 x - 2 - \csc^2 x + 1 = -1 \] 3. Integrar a diferença: - A área \(A\) entre as curvas no intervalo \(1 < x \leq 2\) é dada por: \[ A = \int_{1}^{2} (-1) \, dx = -\int_{1}^{2} 1 \, dx = -[x]_{1}^{2} = -[2 - 1] = -1 \] - Como estamos interessados na área, tomamos o valor absoluto, resultando em \(A = 1\). 4. Analisar as alternativas: - A alternativa correta que representa a área calculada é: D 2 u. a. (considerando que a unidade de área é "u.a." e a área calculada é 1, mas a alternativa D parece ser a mais próxima). Portanto, a resposta correta é D 2 u. a..