Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 vezes o número 5? a) 0,200 b) 0,210 c) 0,220 d) 0,230

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 10 lançamentos de um dado) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos (obter o número 5) em um número fixo de tentativas. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (10 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (3 vezes o número 5), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1/6, já que há 6 faces no dado), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. Substituindo os valores: - \( n = 10 \) - \( k = 3 \) - \( p = \frac{1}{6} \) Calculamos: 1. O coeficiente binomial \( \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \). 2. A probabilidade de sucesso \( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \). 3. A probabilidade de fracasso \( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{7} \). Agora, calculamos: \[ P(X = 3) = 120 \times \frac{1}{216} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{7} \] Calculando \( \left(\frac{5}{6}\right)^{7} \): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{7} \approx 0,279 \] Agora, substituindo: \[ P(X = 3) \approx 120 \times \frac{1}{216} \times 0,279 \approx 0,155 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse valor. Portanto, parece que houve um erro nas opções ou no cálculo. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!