A taxa de variação maxima da função, f(x,y,z) = ln (xy2 z3) no ponto (1,2,3) é:

Para encontrar a taxa de variação máxima da função \( f(x,y,z) = \ln(xy^2z^3) \) no ponto \( (1,2,3) \), precisamos calcular o gradiente da função e, em seguida, avaliar esse gradiente no ponto dado. 1. Calcular o gradiente \( \nabla f \): \[ f(x,y,z) = \ln(x) + 2\ln(y) + 3\ln(z) \] As derivadas parciais são: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{y}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{3}{z} \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( (1,2,3) \): \[ \nabla f(1,2,3) = \left( \frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3} \right) = (1, 1, 1) \] 3. Calcular a norma do gradiente: A taxa de variação máxima é dada pela norma do gradiente: \[ \|\nabla f(1,2,3)\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] Portanto, a taxa de variação máxima da função \( f(x,y,z) \) no ponto \( (1,2,3) \) é \( \sqrt{3} \).