Para calcular a integral dupla \( \iint_R (3x + 4y^2) \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada por \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Identificar a região \( R \): A região \( R \) é a área entre os círculos de raio 1 e raio 2, centrados na origem. Isso significa que estamos lidando com um anel. 2. Mudar para coordenadas polares: Em coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - \( dA = r \, dr \, d\theta \) A integral se torna: \[ \iint_R (3x + 4y^2) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \left(3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta)^2\right) r \, dr \, d\theta \] 3. Simplificar a função: \[ 3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta)^2 = 3r \cos \theta + 4r^2 \sin^2 \theta \] 4. Calcular a integral: \[ \int_0^{2\pi} \int_1^2 \left(3r \cos \theta + 4r^2 \sin^2 \theta\right) r \, dr \, d\theta \] Isso se divide em duas integrais: \[ \int_0^{2\pi} \int_1^2 3r^2 \cos \theta \, dr \, d\theta + \int_0^{2\pi} \int_1^2 4r^3 \sin^2 \theta \, dr \, d\theta \] 5. Resolver cada parte: - A primeira parte, \( \int_0^{2\pi} \cos \theta \, d\theta = 0 \), então essa integral se anula. - Para a segunda parte, você precisa calcular \( \int_1^2 4r^3 \, dr \) e multiplicar pelo resultado de \( \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \). 6. Resultado final: - A integral de \( \sin^2 \theta \) de \( 0 \) a \( 2\pi \) é \( \pi \). - A integral de \( 4r^3 \) de \( 1 \) a \( 2 \) é \( 4 \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 4 \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = 4 \cdot \frac{15}{4} = 15 \). Portanto, o resultado final da integral é: \[ 15 \cdot \pi \] Esboço da região: O esboço da região \( R \) é um anel entre os círculos de raio 1 e raio 2, centrados na origem. Você pode desenhar dois círculos, um menor (raio 1) e um maior (raio 2), e sombrear a área entre eles.