Determine a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\). a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(\frac{1}{8}\) d) \(\frac{1}{10}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^2\). Assim, temos: 1. \(du = -2x \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{2x}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se torna: \[ \int_1^0 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx = -\frac{1}{2} \int_1^0 x^3 u^{1/2} \, du \] Agora, precisamos expressar \(x^3\) em termos de \(u\). Como \(u = 1 - x^2\), temos \(x^2 = 1 - u\) e, portanto, \(x^3 = x \cdot x^2 = x(1 - u)\). Para expressar \(x\) em termos de \(u\), usamos \(x = \sqrt{1 - u}\). Substituindo isso na integral, obtemos: \[ -\frac{1}{2} \int_1^0 \sqrt{1 - u} (1 - u) u^{1/2} \, du \] Agora, simplificamos a integral: \[ -\frac{1}{2} \int_1^0 (1 - u)^{3/2} \, du \] Mudando os limites de integração, temos: \[ \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - u)^{3/2} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral beta ou a substituição direta. O resultado é: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \] Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{5}\)