Para determinar a derivada da função \(f(x) = x^2 \ln(x^2)\), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Identificar as partes: Temos \(u = x^2\) e \(v = \ln(x^2)\). 2. Derivar \(u\): \(u' = 2x\). 3. Derivar \(v\): Para derivar \(v = \ln(x^2)\), usamos a regra da cadeia: \[ v' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}. \] 4. Aplicar a regra do produto: A derivada de \(f(x) = u \cdot v\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv'. \] Substituindo: \[ f'(x) = (2x)(\ln(x^2)) + (x^2)\left(\frac{2}{x}\right). \] 5. Simplificar: \[ f'(x) = 2x \ln(x^2) + 2x. \] Agora, analisando as alternativas: a) \(2x \ln(x^2) + 2x\) - Correta. b) \(2x \ln(x) + 2x\) - Incorreta, pois não é a forma correta da derivada. c) \(2x \ln(x^2) + x\) - Incorreta, pois o termo adicional não está correto. d) \(2x \ln(x^2) + 2\) - Incorreta, pois o termo adicional não está correto. Portanto, a alternativa correta é: a) \(2x \ln(x^2) + 2x\).