Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-2} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica ou uma técnica de integração direta. Vamos resolver passo a passo. 1. Identificar a integral: \(\int (1 + x^2)^{-2} \, dx\). 2. Usar a substituição: Uma boa substituição aqui é \(u = 1 + x^2\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2\sqrt{u - 1}}\). 3. Limites de integração: Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 2\). 4. Reescrever a integral: A integral se torna: \[ \int_1^2 u^{-2} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u - 1}}. \] 5. Resolver a integral: A integral \(\int u^{-2} \, du = -\frac{1}{u}\). Portanto, avaliando de 1 a 2: \[ -\frac{1}{u} \bigg|_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. \] Assim, a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). Portanto, a alternativa correta é: c) \(\frac{1}{2}\).