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Universidade Federal de São João Del-Rei
Departamento de Matemática e Estatística
Lista 7 - Cálculo Vetorial
Prof.- Wilman Rodas
1) Calcular a área da superfície plana 2x + 2y + 3z = 6, tomada no primeiro
octante.
2) Calcular a área da superfície do paraboloide y = 3 − (x2 + z2) interceptado
pelo plano y = 0.
3) Determinar a área da porcão esférica x2 + y2 + z2 = 4 cortada pela parte
superior do cone x2 + y2 + z2.
4) Calcular a área da parte do cone z2 = x2 + y2 que esta no interior do parabo-
lóide z = 2x2 + 2y2.
5) Determinar a área da superfície do parabolóide z = x2 + y2 exterior ao cone
z2 = x2 + y2
6) Calcular
∫ ∫
S
(x+ z)dS onde S é a superfície plana 2x+ 2y+ z = 6, tomada
no primeiro octante.
7) Calcular
∫ ∫
S
(x2 + y2)dS onde S é a superfície esférica x2 + y2 + z2 = 16.
8) Calcular
∫ ∫
S
2zdS onde S é parte do parabolóide z = x2 + y2 − 2, abaixo
do plano xy.
9) Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z2 = 3(x2 + y2),
0 ≤ z ≤ 2. Calcular a massa da lâmina se a densidade no ponto (x, y, z) é
proporcional á distância desse ponto ao eixo dos z.
10) Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = 2y+1 recortada pelo cilindro
x2+(y−2)2 = 4. Determinar a massa da lâmina se a densidade no ponto (x, y, z)
é proporcional á distância desse ponto ao plano xy.
11) Calcular
∫ ∫
S
~f.~ndS, sendo ~f = (y,−x, 0) e S a parte da esfera
x2 + y2 + z2 = a2 no primeiro octante com a normal apontando para fora.
12) Calcular
∫ ∫
S
~f.~ndS, sendo ~f = (x, y, z) e S a parte do plano
2x + 3y + 4z = 12 cortada pelos planos x = 0, y = 0, x = 1 e y = 2 e ~n normal
com componente z não negativa.
13) Calcular
∫ ∫
S
xdydz + ydzdx + zdxdy, onde S é a superfície exterior ao
cilindro x2 + z2 = a2 limitada pelos planos y = −4 e y = 4.
14) Calcular
∫ ∫
S
dydz + dzdx + dxdy, onde S é a superfície exterior ao cone
z =
√
x2 + y2 limitada pelos planos z = 1 e z = 4.
15) Calcular
∫ ∫
S
x2dydz+y2dzdx+z2dxdy, onde S é a superfície plana x+y = 2,
delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z = 4 e a normal se afasta da
origem.
1
Gabarito:
1)3
√
17
2
2) (13
√
13−1)pi
6
3)4pi(2−√2) 4)pi
√
2
4
5)pi(5
√
5−1)
6
6)81
2
7)2048pi
3
8)−37pi
5
9)2pik
√
5
3
10)20
√
5kpi
11)0 12)6 13)16pia2 14)− 15pi 15)64/3
2