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Problema 59: Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^3}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) \(3x^2 e^{x^3}\)
b) \(e^{x^3}\)
c) \(x^2 e^{x^3}\)
d) \(3 e^{x^3}\)
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Para determinar a derivada da função \(f(x) = e^{x^3}\), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \(e^u\) em relação a \(x\) é \(e^u \cdot \frac{du}{dx}\), onde \(u = x^3\). 1. Primeiro, encontramos a derivada de \(u = x^3\): \[ \frac{du}{dx} = 3x^2 \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = e^{x^3} \cdot \frac{du}{dx} = e^{x^3} \cdot 3x^2 \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 3x^2 e^{x^3} \] Analisando as alternativas: a) \(3x^2 e^{x^3}\) - Correta. b) \(e^{x^3}\) - Incorreta. c) \(x^2 e^{x^3}\) - Incorreta. d) \(3 e^{x^3}\) - Incorreta. A alternativa correta é: a) \(3x^2 e^{x^3}\).

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Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx\).

a) \(\frac{2}{5}\)
b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{1}{5}\)

Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x^2) \).

a) \( 2x \ln(x^2) + 2x \)
b) \( 2x \ln(x) + 2x \)
c) \( 4x \ln(x) + 2x \)
d) \( 2x \ln(x^2) - 2x \)

Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) 2
D) Não existe

Calcule a integral \int_0^1 (1 + x^4)^{-1/2} \, dx.

a) \frac{1}{2}
b) \frac{\sqrt{2}}{2}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{1}{4}

Determine a derivada de f(x) = e^{x^3}.

A) \(3x^2 e^{x^3}\)
B) \(e^{x^3}\)
C) \(x^3 e^{x^2}\)
D) \(x^2 e^{x^3}\)

Calcule o limite: \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\).

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Determine a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\).

a) \(\frac{1}{5}\)
b) \(\frac{1}{6}\)
c) \(\frac{1}{8}\)
d) \(\frac{1}{10}\)

Problema 55: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-2} \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{2}\)
d) \(\frac{1}{5}\)

Problema 56: Determine a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x^2)\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) \(2x \ln(x^2) + 2x\)
b) \(2x \ln(x) + 2x\)
c) \(2x \ln(x^2) + x\)
d) \(2x \ln(x^2) + 2\)

Problema 57: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan^2(x)}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) 0
b) 1
c) 2
d) Não existe

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