Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4} \). a) \( \frac{1}{3} \) b) \( 0 \) c) \( 1 \) d) \( \infty \)

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4} \), vamos usar a série de Taylor para \( \sin(x) \): A série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) é: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Portanto, \( \sin^2(x) \) será: \[ \sin^2(x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6) \] Agora, substituindo na expressão do limite: \[ x^2 - \sin^2(x) = x^2 - \left(x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)\right) = \frac{x^4}{3} - O(x^6) \] Assim, temos: \[ \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{3} - O(x^6)}{x^4} = \frac{1}{3} - O(x^2) \] Quando \( x \to 0 \), o termo \( O(x^2) \) tende a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{3} - O(x^2)\right) = \frac{1}{3} \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{1}{3} \)