Qual é o valor de z que satisfaz z^3 = -8? a) z = -2 b) z = 2 c) z = 1 + i√3 d) z = 2cis(4π/3)

Para resolver a equação \( z^3 = -8 \), podemos reescrever \(-8\) na forma polar. O número \(-8\) pode ser expresso como \(8 \text{cis}(\pi)\), onde \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). Agora, para encontrar \( z \), precisamos calcular a raiz cúbica de \( 8 \text{cis}(\pi) \). A raiz cúbica de \( 8 \) é \( 2 \), e para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] onde \( r = 8 \), \( \theta = \pi \), \( n = 3 \) e \( k = 0, 1, 2 \). Calculando para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Calculando para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{3\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}(\pi) \] Calculando para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{5\pi}{3}\right) \] A raiz que corresponde a \( k = 1 \) é \( z = 2 \text{cis}(\pi) = 2(-1) = -2 \). Portanto, a alternativa correta é: a) z = -2.