Qual é a solução da equação z^4 + 1 = 0? a) z = ±√2 b) z = ±1/√2 + i c) z = e^(iπ/4) d) z = e^(i(2k+1)π/4), k = 0, 1, 2, 3

Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma exponencial como \( e^{i\pi} \). Assim, podemos escrever: \[ z^4 = e^{i\pi} \] Para encontrar as soluções, precisamos considerar as raízes quartas de \( e^{i\pi} \). As raízes \( n \)-ésimas de um número complexo são dadas por: \[ z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4}, \quad k = 0, 1, 2, 3 \] Isso nos dá: \[ z_k = e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 \] Portanto, as soluções são: - Para \( k = 0 \): \( z_0 = e^{i\pi/4} \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = e^{i(3\pi/4)} \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = e^{i(5\pi/4)} \) - Para \( k = 3 \): \( z_3 = e^{i(7\pi/4)} \) Assim, a forma geral das soluções é: \[ z = e^{i(2k+1)\pi/4}, \quad k = 0, 1, 2, 3 \] Portanto, a alternativa correta é: d) \( z = e^{i(2k+1)\pi/4}, k = 0, 1, 2, 3 \)