Problema 21: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). A) \(\frac{2}{5}\) B) \(\frac{3}{8}\) C) \(\frac{4}{5}\) D) \(\frac{1}{2}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração também mudam: quando \(x = 0\), \(\theta = 0\) e quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então: \[ (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} = (\cos^2(\theta))^{3/2} = \cos^3(\theta) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta \] Agora, podemos usar a fórmula para a integral de \(\cos^n(\theta)\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \] Para \(n = 4\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(3\right)} \] Sabemos que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\) e \(\Gamma(3) = 2\). E \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\). Substituindo: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \cdot \sqrt{\pi}}{2} = \frac{3\pi/4}{2} = \frac{3\pi}{8} \] Por fim, a integral original \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\) resulta em \(\frac{3}{8}\). Portanto, a alternativa correta é: B) \(\frac{3}{8}\).