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Problema 25: Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). A) \(\frac{\pi}{4}\) B) \(\frac{\pi}{2}\) C) \(1\) D) \(\frac{1}{2}\)

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Estudando com Questões

há 10 meses

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pary 51288
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há 10 meses

Para calcular a integral \(\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), podemos usar a função inversa da tangente, que é a seguinte: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: \[ \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \] Sabemos que: \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\) e \(\tan^{-1}(0) = 0\). Portanto: \[ \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] Assim, a alternativa correta é: A) \(\frac{\pi}{4}\)

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B) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)
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A) \(\frac{2}{5}\)
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A) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-x}\)
B) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x}\)
C) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}\)
D) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\)

Problema 23: Calcule a integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\).

A) \(\frac{\pi}{4}\)
B) \(\frac{\pi}{2}\)
C) \(\frac{\pi}{6}\)
D) \(\frac{\pi}{3}\)

Problema 24: Determine o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{1}{6}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(0\)

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