Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} \), podemos usar a regra da cadeia. Primeiro, note que \( \sqrt{x^2 + 2x + 1} \) pode ser simplificado como \( \sqrt{(x + 1)^2} \), que é igual a \( |x + 1| \). No entanto, para a derivada, vamos considerar a forma original. A derivada de \( \sqrt{u} \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \), onde \( u = x^2 + 2x + 1 \). Calculando \( \frac{du}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \] Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \) - Incorreta, pois falta o fator \( \frac{1}{2} \). B) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x - 2) \) - Incorreta, mesmo motivo e o sinal está errado. C) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \) - Correta, está de acordo com o que encontramos. D) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x - 2) \) - Incorreta, o sinal está errado. Portanto, a alternativa correta é: C) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \).