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B) \( -\frac{1}{4} \) 
 C) \( -\frac{1}{3} \) 
 D) \( -\frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{9} \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 \, dx \). A 
integral se transforma em \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_0^1 - 
\int_0^1 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \), resultando em \( -\frac{1}{9} \). 
 
24. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( 3 \) 
 **Resposta:** D) \( 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou fatorando, temos \( \frac{(x-
1)(x^2+x+1)}{x-1} \) que simplifica para \( x^2 + x + 1 \). Avaliando em \( x = 1 \), obtemos \( 3 
\). 
 
25. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} \)?** 
 A) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \) 
 B) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x - 2) \) 
 C) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \) 
 D) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x - 2) \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 1}} \cdot (2x + 2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada é dada por \( \frac{1}{2\sqrt{u}} 
\cdot u' \), onde \( u = x^2 + 2x + 1 \) e \( u' = 2x + 2 \). 
 
26. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 A) \( 1 \) 
 B) \( 2 \) 
 C) \( \frac{5}{3} \) 
 D) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{7}{3} \) 
 **Explicação:** A integral se calcula como \( \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx = [x^3 + x^2 + 
x]_0^1 = 1 + 1 + 1 = 3 \). 
 
27. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)?** 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \infty \) 
 D) \( -1 \) 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o 
denominador tendem a \( 0 \) quando \( x \to 0 \). Derivando, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{1/(1+x)}{1} = 1 \). 
 
28. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' = -4y + 3 \)?** 
 A) \( y = Ce^{-4x} + \frac{3}{4} \) 
 B) \( y = Ce^{4x} + \frac{3}{4} \) 
 C) \( y = Ce^{-4x} - \frac{3}{4} \) 
 D) \( y = Ce^{4x} - \frac{3}{4} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-4x} + \frac{3}{4} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é a soma da solução homogênea \( y_h = Ce^{-4x} \) e uma solução particular \( y_p = 
\frac{3}{4} \). 
 
29. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{6} \) 
 B) \( \frac{1}{4} \) 
 C) \( \frac{1}{3} \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x \, dx \). A integral 
se transforma em \( -\frac{1}{2} \int_0^1 (1-u)^{1/2} \, du \), resultando em \( \frac{1}{6} \). 
 
30. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)?** 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
31. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \sin(2e^{3x}) \)?** 
 A) \( e^{3x} (3\sin(2e^{3x}) + 2\cos(2e^{3x})) \) 
 B) \( e^{3x} (3\sin(2e^{3x}) - 2\cos(2e^{3x})) \) 
 C) \( 3e^{3x} \sin(2e^{3x}) + 2e^{3x} \cos(2e^{3x}) \) 
 D) \( e^{3x} (3\sin(2e^{3x}) + 2\sin(2e^{3x})) \) 
 **Resposta:** A) \( e^{3x} (3\sin(2e^{3x}) + 2\cos(2e^{3x})) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de \( e^{3x} \) 
é \( 3e^{3x} \) e a derivada de \( \sin(2e^{3x}) \) é \( 2e^{3x} \cos(2e^{3x}) \). 
 
32. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{5} \) 
 B) \( \frac{1}{6} \) 
 C) \( \frac{1}{7} \) 
 D) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** A integral se calcula como \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \left[ 
\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} 
= \frac{1}{6} \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - 2x^3 + 1}{4x^4 + 5} \)?** 
 A) \( 0 \) 
 B) \( \frac{3}{4} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \infty \)