Determine o valor de z^4 se z = re^{iθ} e r = 2, θ = \frac{π}{6}. a) 16e^{i2π/3} b) 16e^{iπ/6} c) 16e^{i4π/3} d) 8e^{iπ/3}

Para determinar o valor de \( z^4 \) dado que \( z = re^{i\theta} \), onde \( r = 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{6} \), vamos seguir os passos: 1. Primeiro, substituímos os valores de \( r \) e \( \theta \) na expressão de \( z \): \[ z = 2e^{i\frac{\pi}{6}} \] 2. Agora, elevamos \( z \) à quarta potência: \[ z^4 = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^4 = 2^4 \cdot (e^{i\frac{\pi}{6}})^4 \] 3. Calculando \( 2^4 \): \[ 2^4 = 16 \] 4. Agora, calculamos \( (e^{i\frac{\pi}{6}})^4 \): \[ (e^{i\frac{\pi}{6}})^4 = e^{i\frac{4\pi}{6}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} \] 5. Portanto, juntando tudo, temos: \[ z^4 = 16e^{i\frac{2\pi}{3}} \] Assim, a alternativa correta é: a) \( 16e^{i\frac{2\pi}{3}} \)