Para resolver a integral \( \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \( u = e^{2x} \), o que implica que \( du = 2e^{2x} \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2u} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx = \int \sin(3u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(3u) \, du \] A integral de \( \sin(3u) \) é: \[ -\frac{1}{3} \cos(3u) + C \] Portanto, substituindo de volta \( u = e^{2x} \): \[ \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3} \cos(3e^{2x})\right) + C = -\frac{1}{6} \cos(3e^{2x}) + C \] Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos a forma da integral e as opções dadas, a alternativa que mais se aproxima do resultado correto, considerando a função seno, é: c) \( \frac{1}{3} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) Entretanto, a resposta correta para a integral original não está entre as opções apresentadas. Se você tiver mais informações ou se houver um erro nas opções, por favor, verifique.