Para resolver a integral \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). Como \( x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot u \), podemos reescrever a integral: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \int x \cdot u e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int u e^u \, du \] Agora, para resolver \( \int u e^u \, du \), usamos a integração por partes, onde \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \), e \( w = u \) e \( dw = du \). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C = e^u (u - 1) + C \] Substituindo de volta \( u = x^2 \): \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( e^{x^2} (x^2 - 1) + C \right) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) b) \( e^{x^2} + C \) c) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) d) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \) Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, a alternativa a) e c) são idênticas, e a forma geral da resposta correta deve incluir a parte \( (x^2 - 1) \) que não está presente nas opções. Portanto, a resposta correta não está listada entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as alternativas estão completas ou se há um erro na formulação da pergunta.