Calcule \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx. a) 0 b) 1 c) \frac{1}{3} d) \frac{2}{3}

Para calcular a integral definida \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. A função \(x^2 - 2x + 1\) pode ser reescrita como \((x - 1)^2\). Agora, a integral se torna: \[ \int_1^2 (x - 1)^2 \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Encontrar a antiderivada: \[ \int (x - 1)^2 \, dx = \frac{(x - 1)^3}{3} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 1 a 2: \[ \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_1^2 = \frac{(2 - 1)^3}{3} - \frac{(1 - 1)^3}{3} \] \[ = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{3}\). A alternativa correta é: c) \(\frac{1}{3}\).