Calcule \(\int_0^1 e^{2x} \, dx\). a) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) b) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) c) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) d) \(e - 1\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 e^{2x} \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \(e^{2x}\) é \(\frac{1}{2} e^{2x}\), pois a derivada de \(\frac{1}{2} e^{2x}\) é \(e^{2x}\) multiplicada pela derivada de \(2x\), que é 2. 2. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: \[ \int_0^1 e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2} e^{2(1)} - \frac{1}{2} e^{2(0)} = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} e^0 \] \[ = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} (e^2 - 1) \] 3. Verificar as alternativas: Agora, vamos verificar qual alternativa corresponde ao resultado: a) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) - Correto! b) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) - Incorreto. c) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) - Correto, mas repetido da alternativa (a). d) \(e - 1\) - Incorreto. Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\).