ds algoritmo da matematica

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45. **Problema 45**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: d) 3 
 **Explicação**: O limite é indeterminado na forma \(0/0\). Usando fatoração, temos 
\(\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = x^2 + x + 1\). Avaliando em \(x = 1\), obtemos \(3\). 
 
46. **Problema 46**: Determine a integral \(\int (2x + 1)e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(e^{x^2} + C\) 
 b) \(e^{x^2} + \frac{1}{2} + C\) 
 c) \(e^{x^2} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 **Resposta**: a) \(e^{x^2} + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), então a integral se 
torna \(\int e^u \, du = e^{x^2} + C\). 
 
47. **Problema 47**: Calcule \(\int_0^1 e^{2x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 d) \(e - 1\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)\). 
 
48. **Problema 48**: Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\)? 
 a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 b) \(4x^3 \ln(x) + 4x^2\) 
 c) \(4x^3 \ln(x) + 2x^2\) 
 d) \(4x^3 \ln(x) + 3x^2\) 
 **Resposta**: a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = x^4 \cdot \frac{1}{x} + 4x^3 
\ln(x) = 4x^3 \ln(x) + x^3\). 
 
49. **Problema 49**: Calcule \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 3 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k\). Aqui, \(k = 3\), então \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\). 
 
50. **Problema 50**: Qual é a integral de \(\int \sec^2(x) \, dx\)? 
 a) \(\tan(x) + C\) 
 b) \(\sec(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{\sec(x)} + C\) 
 d) \(\ln(\sec(x) + \tan(x)) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\tan(x) + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(\sec^2(x)\) é conhecida e é dada por \(\tan(x) + C\). 
 
51. **Problema 51**: Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4x + 2) \, dx\). 
 a) \(x^3 - 2x^2 + 2x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 c) \(x^3 - 4x^2 + 2x + C\) 
 d) \(x^3 - 4x^2 + x + C\) 
 **Resposta**: b) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(3x^2\) é \(x^3\), a integral de \(-4x\) é \(-2x^2\) e a integral 
de \(2\) é \(2x\). Portanto, a integral completa é \(x^3 - 2x^2 + x + C\). 
 
52. **Problema 52**: Qual é a derivada de \(f(x) = e^{\sin(x)}\)? 
 a) \(e^{\sin(x)} \cos(x)\) 
 b) \(e^{\sin(x)} \sin(x)\) 
 c) \(e^{\sin(x)} \tan(x)\) 
 d) \(\sin(x) e^{\sin(x)}\) 
 **Resposta**: a) \(e^{\sin(x)} \cos(x)\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)\). 
 
53. **Problema 53**: Calcule \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{7}{3}\) 
 b) \(\frac{8}{3}\) 
 c) \(\frac{9}{3}\) 
 d) \(\frac{10}{3}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{8}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[x^3 - x^2 + x\right]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 
5\). 
 
54. **Problema 54**: Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta**: c) 4 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Aqui, \(k = 4\), então \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4\). 
 
55. **Problema 55**: Determine a integral \(\int (x^2 + 1) e^x \, dx\). 
 a) \((x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C\) 
 b) \((x^2 + 1)e^x + C\) 
 c) \((x^2 + 1)e^x - e^x + C\) 
 d) \((x^2 + 1)e^x - 2e^x + C\) 
 **Resposta**: a) \((x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C\) 
 **Explicação**: Usando a integração por partes, temos a integral de \((x^2 + 1)e^x\) que 
resulta em \((x^2 + 1)e^x - 2xe^x + C\).