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Qual é a integral de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)?

a) \(\sin^{-1}(x) + C\)
b) \(\cos^{-1}(x) + C\)
c) \(\tan^{-1}(x) + C\)
d) \(\ln(x + \sqrt{1 - x^2}) + C\)
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Questões para Estudantes

há 10 meses

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há 10 meses

pi a vida da matematica
3 pág.

pi a vida da matematica

Anhanguera

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há 10 meses

Para encontrar a integral de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\), precisamos lembrar que essa função é a derivada da função arco seno. A integral de \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) é dada por: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \sin^{-1}(x) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\sin^{-1}(x) + C\) - Correta, pois é a integral que procuramos. b) \(\cos^{-1}(x) + C\) - Incorreta, essa é a derivada de \(\cos^{-1}(x)\). c) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta, essa é a integral de \(\frac{1}{1 + x^2}\). d) \(\ln(x + \sqrt{1 - x^2}) + C\) - Incorreta, essa não é a integral correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\sin^{-1}(x) + C\).

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Qual é a derivada da função f(x) = x^2 ln(x)?

A) 2x ln(x) + x
B) 2x ln(x) - x
C) x^2 \\frac{1}{x}
D) 2x ln(x^2)

Calcule a integral:
\[
\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx
\]
a) \(\frac{1}{2} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\)
b) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\)
c) Não existe forma elementar
d) \(\frac{1}{2} e^{2x} \tan(3e^{2x}) + C\)
**Resposta:** c) Não existe forma elementar
**Explicação:** A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.

a) \(\frac{1}{2} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\)
b) \(\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\)
c) Não existe forma elementar
d) \(\frac{1}{2} e^{2x} \tan(3e^{2x}) + C\)

Calcule a integral:
\[
\int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx
\]
a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{5}\)
c) \(\frac{1}{6}\)
d) \(\frac{1}{3}\)
**Resposta:** b) \(\frac{1}{5}\)
**Explicação:** Integrando:
\[
\int (x^2 - x^3) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{5}
\]

a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{5}\)
c) \(\frac{1}{6}\)
d) \(\frac{1}{3}\)

Qual é a derivada de f(x) = x^3 \sin(x)?

A) 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x)
B) 3x^2 \cos(x) + x^3 \sin(x)
C) 2x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x)
D) 3x^2 \sin(x) + \sin(x)

Calcule a integral:
\[
\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx
\]
a) \(\frac{2}{3}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{1}{6}\)
**Resposta:** a) \(\frac{2}{3}\)
**Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^3\), \(du = -3x^2 \, dx\):
\[
\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3}
\]

a) \(\frac{2}{3}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{1}{6}\)

Qual é a integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \)?

a) \( \tan^{-1}(x) + C \)
b) \( \sec^{-1}(x) + C \)
c) \( \ln(x) + C \)
d) \( \cot^{-1}(x) + C \)

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