Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. Derivando \(u\), obtemos \(du = -3x^2 \, dx\), ou seja, \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{du}{3x^2}\right) \] Precisamos expressar \(x\) em termos de \(u\). Da substituição \(u = 1 - x^3\), temos \(x = (1 - u)^{\frac{1}{3}}\). 4. Substituindo \(x\) na integral, obtemos: \[ \int_1^0 u^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{du}{3(1-u)^{\frac{2}{3}}}\right) \] Mudando os limites de integração, ficamos com: \[ \frac{1}{3} \int_0^1 u^{\frac{1}{2}} (1-u)^{-\frac{2}{3}} \, du \] 5. Essa integral pode ser resolvida usando a função beta ou a fórmula da integral de Beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] onde \(x = \frac{3}{2}\) e \(y = \frac{1}{3}\). 6. O resultado da integral é: \[ \frac{2}{3} \] Portanto, a resposta correta é a) \(\frac{2}{3}\).