Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma polar como \( e^{i\pi} \). Assim, podemos escrever: \[ z^4 = e^{i\pi} \] Para encontrar as raízes quartas de \( -1 \), usamos a fórmula das raízes de um número complexo: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), e \( n = 4 \). Portanto, as raízes são: \[ z_k = \cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) \] Para \( k = 0, 1, 2, 3 \): 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] 4. Para \( k = 3 \): \[ z_3 = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] Assim, as soluções são: - \( z_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - \( z_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - \( z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - \( z_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) Portanto, as alternativas corretas são: A) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) B) \( -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) C) \( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) D) \( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) Todas as alternativas são soluções, mas se você precisa de uma única resposta, a primeira solução encontrada é a) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \).