Para determinar a forma polar do número complexo \( 5 + 5i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: O módulo \( r \) de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \] Neste caso, \( a = 5 \) e \( b = 5 \): \[ r = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] Aqui, \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{5}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Agora, podemos escrever a forma polar: \[ z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = 5\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \] Analisando as alternativas: A) \( 5\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) - Correta. B) \( 5(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) - Incorreta, pois o módulo não é 5. C) \( 5\sqrt{2} (\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) \) - Incorreta, pois o argumento não é \( \frac{3\pi}{4} \). D) \( 5(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) \) - Incorreta, pois o módulo não é 5. Portanto, a alternativa correta é: A) \( 5\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \).