Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^3 - 2x + 1) \, dx \). A) \( \frac{1}{4} \) B) \( 1 \) C) \( \frac{5}{12} \) D) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (3x^3 - 2x + 1) \, dx \), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 3x^3 \) é \( \frac{3}{4}x^4 \). - A antiderivada de \( -2x \) é \( -x^2 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( 3x^3 - 2x + 1 \) é: \[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - x^2 + x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) de 0 a 1: \[ \int_0^1 (3x^3 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 - (1)^2 + (1) = \frac{3}{4} - 1 + 1 = \frac{3}{4} \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{3}{4}(0)^4 - (0)^2 + (0) = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (3x^3 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{4} - 0 = \frac{3}{4} \] 3. Analisando as alternativas: Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \( \frac{3}{4} \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!