Qual é a derivada de f(x) = x^5 \ln(x)? a) 5x^4 \ln(x) + x^4 b) 5x^4 \ln(x) + 5x^4 c) 5x^4 \ln(x) - x^4 d) 5x^4 \ln(x) + \frac{x^5}{x}

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^5 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u = x^5 \) e \( u' = 5x^4 \) - \( v = \ln(x) \) e \( v' = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (5x^4)(\ln(x)) + (x^5)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 5x^4 \ln(x) + x^4 \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^5 \ln(x) \) é: \[ f'(x) = 5x^4 \ln(x) + x^4 \] Assim, a alternativa correta é a) \( 5x^4 \ln(x) + x^4 \).