Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Para calcular o valor da integral \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada da função \( 4x^3 - 2x^2 + 3 \): - A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). - A antiderivada de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \] 2. Avaliar a integral definida de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = F(1) - F(0) \] - Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 3(1) = 1 - \frac{2}{3} + 3 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{1 + 9 - 2}{3} = \frac{8}{3} \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0^4 - \frac{2}{3}(0^3) + 3(0) = 0 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( \frac{8}{3} \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois o valor correto da integral é \( \frac{8}{3} \).