84. **Problema 84:** Se z = 1 + i√3, determine quantas vezes z se torna um real após multiplicação por z. A) 1 B) 2 C) 3 D) Nenhuma das anteriores

Para resolver o problema, vamos analisar a multiplicação de \( z \) por ele mesmo: Dado \( z = 1 + i\sqrt{3} \), vamos calcular \( z^2 \): \[ z^2 = (1 + i\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 \] \[ = 1 + 2i\sqrt{3} + (i^2 \cdot 3) = 1 + 2i\sqrt{3} - 3 \] \[ = -2 + 2i\sqrt{3} \] Agora, vamos multiplicar \( z^2 \) por \( z \) novamente: \[ z^3 = z^2 \cdot z = (-2 + 2i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3}) \] Ao expandir isso, teremos: \[ = -2 \cdot 1 + (-2) \cdot (i\sqrt{3}) + (2i\sqrt{3}) \cdot 1 + (2i\sqrt{3}) \cdot (i\sqrt{3}) \] \[ = -2 - 2i\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} + 2(-3) \] \[ = -2 - 6 = -8 \] O resultado \( -8 \) é um número real. Agora, vamos verificar se \( z^4 \) se torna real: \[ z^4 = z^3 \cdot z = (-8)(1 + i\sqrt{3}) = -8 - 8i\sqrt{3} \] Aqui, \( z^4 \) não é real. Continuando, vamos calcular \( z^5 \): \[ z^5 = z^4 \cdot z = (-8 - 8i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3}) \] Ao expandir isso, teremos: \[ = -8 - 8i\sqrt{3} - 8i\sqrt{3} - 24 \] \[ = -32 - 16i\sqrt{3} \] Novamente, não é real. Por fim, vamos calcular \( z^6 \): \[ z^6 = z^5 \cdot z = (-32 - 16i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3}) \] Ao expandir isso, teremos: \[ = -32 - 32i\sqrt{3} - 16i\sqrt{3} - 48 \] \[ = -80 - 48i\sqrt{3} \] E assim por diante. Após essa análise, podemos concluir que \( z \) se torna real apenas uma vez, que é em \( z^3 \). Portanto, a resposta correta é: A) 1.