Qual é a probabilidade de encontrar um elétron na região 0 ≤ x ≤ L/2 para o estado fundamental? a) 0,5 b) 1 c) 0,25 d) 0,75

Para determinar a probabilidade de encontrar um elétron na região \(0 \leq x \leq \frac{L}{2}\) para o estado fundamental de uma partícula em uma caixa (potencial infinito), precisamos considerar a função de onda do estado fundamental. A função de onda para o estado fundamental em uma caixa de largura \(L\) é dada por: \[ \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \] A probabilidade de encontrar a partícula em uma região específica é dada pela integral do quadrado da função de onda nessa região. Assim, a probabilidade \(P\) de encontrar o elétron entre \(0\) e \(\frac{L}{2}\) é: \[ P = \int_{0}^{L/2} |\psi(x)|^2 \, dx \] Calculando isso, obtemos: \[ P = \int_{0}^{L/2} \left(\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right)^2 \, dx = \frac{2}{L} \int_{0}^{L/2} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \, dx \] A integral de \(\sin^2\) de \(0\) a \(\frac{L}{2}\) resulta em \(\frac{L}{4}\), levando a: \[ P = \frac{2}{L} \cdot \frac{L}{4} = \frac{1}{2} \] Portanto, a probabilidade de encontrar o elétron na região \(0 \leq x \leq \frac{L}{2}\) é \(0,5\). Assim, a alternativa correta é: a) 0,5.